БСЭ энциклопедия
«Начала» Евклида (греч. Stoicheia, буквально — азбука;

«Начала» Евклида

«Нача'ла» Евкли'да ( греч. Stoicheia, буквально — азбука; переносное значение — основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

  «Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция ). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского , построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия ). За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

  С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия ). До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

  «Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой . В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским ; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме ). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

  «Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед , Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. — начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250—1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание — «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, 1948—50.

  Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

  И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

источник: Большая Советская Энциклопедия

  • Другие статьи:
Искать информацию по запросу: «Начала» на eBay аукцион * в Большой Российской Энциклопедии * в магазине Озоне
Search Москва All Amazon* UK* DE* FR* JP* CA* CN* IT* ES* IN* BR* MX
Search Moscow All Ebay* AU* AT* BE* CA* FR* DE* IN* IE* IT* MY* NL* PL* SG* ES* CH* UK*


$13.99
End Date: Saturday Jul-6-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$2.99
End Date: Tuesday Jul-16-2019 10:03:46 PDT
Buy It Now for only: $2.99
|
Russia Bear Patriotic Moscow Putin Hard Hat Car Bumper Vinyl Sticker Decal 4"X5"


$14.90
End Date: Friday Jul-12-2019 13:37:41 PDT
Buy It Now for only: $14.90
|
mr. Putin Russian President NEW t-shirt Russia My motherland Moscow 559424


$13.99
End Date: Saturday Jul-6-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Saturday Jul-6-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Saturday Jul-6-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Saturday Jul-6-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Tuesday Jul-16-2019 11:58:41 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
Search Results from «Ваш Магазин» Печать книг на заказ. Новинки.
 Кремль неизвестный-известныйКремль неизвестный-известный, 2006 г.
Хохлова Е.С.

Книга-альбом по-новому представляет всемирно известный Московский Кремль благодаря уникальным фотографиям В. Греви.
Цена: 767 руб.
 MoscuMoscu, 2016 г.
Лобанова Т.

Издание на испанском языке. Москва на протяжении веков была очагом заботливо сохраняемых культурных традиций. Здесь, в древнем Успенском соборе, главном храме государства, венчались на царство все российские самодержцы. Сюда, в Москву, приезжали торжественно отмечать свои военные победы...
Цена: 428 руб.
 Рождественка-Кузнецкий мост-НеглиннаяРождественка-Кузнецкий мост-Неглинная, 2017 г.
Кутузова Виктория Милорадовна

С помощью книг этой серии вы сможете самостоятельно прогуляться по Москве по выбранному маршруту. Указано приблизительное время, которое займет такая прогулка. Вы узнаете много нового и по-настоящему откроете для себя столицу. Прекрасных вам спутников, хорошей погоды и - вперед!
Цена: 204 руб.
 Как читать и понимать Москву. Интенсивный курсКак читать и понимать Москву. Интенсивный курс, 2017 г.

"Москва многолика и безгранична, большинству из нас известны лишь некоторые ее грани, для кого-то Москва – это современный мегаполис, где царят стекло и бетон, для других – древний город с крепостными башнями и золотыми куполами, а для третьих – это с детства знакомые дворы и...
Цена: 522 руб.
 Москва (+ карта города) (на испанском языке)Москва (+ карта города) (на испанском языке), 2018 г.
Гейдор Т.

Альбом-сувенир рассказывает о Кремле, Красной площади, Москве, Московском метро и Троице-Сергиевой Лавре. Альбом с вложением карты центральной части Москвы и схемой метро.
Цена: 512 руб.
2008 Copyright © MoscowMSK.ru Мобильная Версия v.2015 | PeterLife и компания Москвоведение. Энциклопедия. Компании и фирмы. Новости Москвы. России и Мира сегодня. Прогноз погоды. Политика, бизнес, экономика. Объявления: Работа и вакансии. Знакомства. Полезная информация для туристов: отдых и путешествия. Экскурсии и туры по Москве. Популярные магазины. Продажа товаров и услуги онлайн. | Пользовательское соглашение использование материалов сайта разрешено с активной ссылкой на сайт. | SkimLinks международная реклама магазинов. | Скрипты Nevius. | Раскрутка сайтов 1ПС. | Хостинг Valuehost.
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика Яндекс цитирования