БСЭ энциклопедия
«Начала» Евклида (греч. Stoicheia, буквально — азбука;

«Начала» Евклида

«Нача'ла» Евкли'да ( греч. Stoicheia, буквально — азбука; переносное значение — основные начала), научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

  «Н.» Е. построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см. Дедукция ). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского , построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия ). За постулатами в «Н.» Е. приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

  С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. полностью выяснились лишь в конце 19 в. после работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия ). До этого на протяжении более 2 тыс. лет «Н.» Е. служили образцом научной строгости; по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию.

  «Н.» Е. состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой . В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским ; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме ). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е.

  «Н.» Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед , Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего времени античный текст «Н.» Е. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. — начале 9 в. появляются переводы «Н.» Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями; подлинный текст «Н.» Е. точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. в переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250—1260; Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в котором приводится как греч. текст, так и его лат. перевод. На русском языке «Н.» Е. издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание — «Начала Евклида», пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, 1948—50.

  Лит.: История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970.

  И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.

источник: Большая Советская Энциклопедия

  • Другие статьи:
Искать информацию по запросу: «Начала» на eBay аукцион * в Большой Российской Энциклопедии * в магазине Озоне
Search Москва All Amazon* UK* DE* FR* JP* CA* CN* IT* ES* IN* BR* MX
Search Moscow All Ebay* AU* AT* BE* CA* FR* DE* IN* IE* IT* MY* NL* PL* SG* ES* CH* UK*


$2.99
End Date: Tuesday Apr-16-2019 1:34:55 PDT
Buy It Now for only: $2.99
|
Russia President Putin Путин Moscow Car Bumper Window Vinyl Sticker Decal 4"X5"


$13.99
End Date: Sunday Apr-7-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Sunday Apr-7-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Sunday Apr-7-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Sunday Apr-7-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$13.99
End Date: Sunday Apr-7-2019 14:51:06 PDT
Buy It Now for only: $13.99
|
CCCP Star Soviet Communist Russia Moscow Putin Funny Politics T-shirt


$8.99
End Date: Tuesday Apr-2-2019 13:15:32 PDT
Buy It Now for only: $8.99
|
Unbranded Putin Men’s Sz L Changing The World Graphic Tee Shirt Moscow A.029


$11.02
End Date: Saturday Mar-30-2019 8:44:36 PDT
Buy It Now for only: $11.02
|
Search Results from «Ваш Магазин» Печать книг на заказ. Новинки.
 Пушкинский некропольПушкинский некрополь, 2015 г.
Гейченко Семен Степанович, Артамонов Михаил Дмитриевич

Знаменитый москвовед, некрополист, страстный почитатель Пушкина, профессор математики Михаил Дмитриевич Артамонов рассказывает о родственниках, друзьях и знакомых поэта, похороненных на шестнадцати старинных московских кладбищах. В одном только Донском монастыре можно встретить десятки...
Цена: 407 руб.
 Власть места. Очерки по литературному москвоведениюВласть места. Очерки по литературному москвоведению, 2017 г.
Стародуб К.

Книга состоит из девяти очерков, посвященных роли Москвы в жизни и творчестве С.Т. Аксакова, А.С. Грибоедова, А.С. Пушкина, Н.В. Гоголя, М.Ю. Лермонтова, И.С. Тургенева, Ф.М. Достоевского, Л.Н. Толстого и А.П. Чехова - писателей "золотого" века русской литературы. Очерки...
Цена: 511 руб.
 Москва (+ карта города)Москва (+ карта города), 2012 г.
Гейдор Т.

Альбом-сувенир рассказывает о Кремле, Красной площади, Москве, Московском метро и Троице-Сергиевой Лавре. Альбом с вложением карты центральной части Москвы и схемой метро.
Цена: 512 руб.
 Рождественка-Кузнецкий мост-НеглиннаяРождественка-Кузнецкий мост-Неглинная, 2017 г.
Кутузова Виктория Милорадовна

С помощью книг этой серии вы сможете самостоятельно прогуляться по Москве по выбранному маршруту. Указано приблизительное время, которое займет такая прогулка. Вы узнаете много нового и по-настоящему откроете для себя столицу. Прекрасных вам спутников, хорошей погоды и - вперед!
Цена: 204 руб.
 Царицыно в дневниках и воспоминанияхЦарицыно в дневниках и воспоминаниях, 2018 г.
Ерёмина Л.Г.

История России во многом определяла историю Чёрной Грязи — Царицына — Ленино, отражаясь в жизни его обитателей. А история жизни и дела многих царицынских жителей и дачников решающим образом влияли на историю России — политическую, деловую, научную, культурную. Эта книга — история...
Цена: 759 руб.
2008 Copyright © MoscowMSK.ru Мобильная Версия v.2015 | PeterLife и компания Москвоведение. Энциклопедия. Компании и фирмы. Новости Москвы. России и Мира сегодня. Прогноз погоды. Политика, бизнес, экономика. Объявления: Работа и вакансии. Знакомства. Полезная информация для туристов: отдых и путешествия. Экскурсии и туры по Москве. Популярные магазины. Продажа товаров и услуги онлайн. | Пользовательское соглашение использование материалов сайта разрешено с активной ссылкой на сайт. | SkimLinks международная реклама магазинов. | Скрипты Nevius. | Раскрутка сайтов 1ПС. | Хостинг Valuehost.
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика Яндекс цитирования